Задания по подготовке к олимпиадам

Дорогие ребята свои решения или предложения по решению задач, а так же вопросы которые у вас возникают при решении задач присылайте на почту veselova_s_e@mail.ru

 

С уважением, учитель математики

Он-лайн занятия математического кружка "Математическая вертикаль" (Московский технологический университет )


Занятие №11. Решение олимпиадных задач (от 08 мая 2018)

Олимпиадные задания(тренировочный турнир)
Trenirovochnyi_turnir2.pdf
Adobe Acrobat документ 319.2 KB

Занятие №5. Делимость чисел

Делимость. Деление с остатком.
Делимость. Деление с остатком.doc
Microsoft Word документ 52.5 KB
Делимость. Признаки делимости.
Делимость. Признаки делимости.doc
Microsoft Word документ 37.0 KB

Занятие №5. Задачи на движение. Отношение скоростей

Задачи для обсуждения

 

1. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 минуты до звонка, а если вернётся за ручкой – то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 минут. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке?

 

2. Ослик, пройдя четверть моста, вдруг услышал гудок подъезжающей к мосту машины. Если он пойдет дальше, то машина догонит его в конце моста, а если повернет обратно, то встретит машину в начале моста. Найдите отношение скоростей ослика и машины.

 

3. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из В в А?

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Мост состоит из 8 секторов. Пройдя три сектора моста, ослик Иа-Иа заметил сзади на дороге автомобиль, идущий со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста, а если вперед, то автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает Иа-Иа?

 

2. Вася шел встречаться с Мишей в кафе. Пройдя две трети пути от дома до кафе, он вспомнил, что забыл дома деньги. Если Вася продолжит идти в кафе, то придет туда на 25 минут раньше Миши. А если вернется домой за деньгами, то придет на 15 минут позже Миши. Сколько времени занимает у Васи дорога от дома до кафе?

 

3. Из пунктов А и  В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Доехав до середины пути, мотоциклист развернулся и  поехал в А. Доехав до А, он вновь развернулся и поехал к В. Ровно на середине пути он встретил велосипедиста. Найдите отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста.

 

4. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста втрое больше скорости велосипедиста. Проехав три четверти пути, мотоциклист развернулся и поехал снова в город А. Доехав до города А, он вновь поехал навстречу велосипедисту. На каком расстоянии от города А они встретятся?

 

5. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми равно 48 км,  выехал мотоциклист, одновременно с ним из B в А выехал велосипедист. Мотоциклист доехал до B, развернулся, вернулся в А, развернулся и снова поехал навстречу велосипедисту. На каком расстоянии от А они встретятся, если их скорости относятся как 4:1?

 

6. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а  с орехом (от орешника до дупла) – со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

 

7. Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 метров от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы – 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?

 

8*. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали грузовик (из А) и автобус (из В). Через час оказалось, что грузовик находится точно посередине между пунктом А и  автобусом, ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Найдите отношение скоростей грузовика и автобуса.

 

9*. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Через час оказалось, что велосипедист находится посередине между мотоциклистом и В, а еще через час велосипедист оказался посередине пути между А и В. Во сколько раз его скорость меньше скорости мотоциклиста? Рассмотрите два случая: 1) мотоциклист выезжает из А; 2) мотоциклист выезжает из В.

Занятие №3. Чётность.

Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2*K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.).

Каждое такое число можно записать в виде 2*K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

 

Четность и нечетность в сложении и вычитании:

Чётное ± Чётное = Чётное

Чётное ± Нечётное = Нечётное

Нечётное ± Чётное = Нечётное

Нечётное ± Нечётное = Чётное

 

Четность и нечетность в умножении:

Чётное × Чётное = Чётное

Чётное × Нечётное = Чётное

Нечётное × Нечётное = Нечётное

 

Рассмотрим также свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел — число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел — число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел — число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

В справедливости этих свойств убедитесь при решении задач.

Задача 1. В магазин "Все для собак и кошек" привезли новые игрушки. Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

Задача 2. Хозяйка  купила общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровала все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Щенок Антошка выгрыз из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Задача 3. У Антоши  было 5 плиток шоколада . Может ли Антоша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Задача 4.  На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Задача 5. Четна или нечетна сумма всех натуральных чисел от 1 до 17?

Задача 6. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Задача 7. Щенок Антошка нацарапал  на доске: 1*2*3*4*5*6*7*8*9 = 33, причем вместо каждой звездочки он поставил либо плюс, либо минус. Филя  переправил несколько знаков на противоположные и в результате вместо числа 33 получил число 32. Верно ли, что по меньшей мере один из щенков ошибся при подсчете?

Тем кто хочет узнать о четность побольше...

Медников Л.Е. Четность
Mednikov L.E. - Chetnost (Shkolnye Matem
Adobe Acrobat документ 8.7 MB
Электронный дневник
Электронный дневник
Сотрудничество
Сотрудничество